Ricerca di massimi e minimi di una funzione

Dopo aver presentato lo schema generale dello studio di una funzione, si può presentare il seguente metodo per ricercare i massimi e i minimi relativi:

• se in

si verificano entrambe le condizioni che la derivata prima in c si annulla e la derivata seconda è positiva, allora nel punto di coordinate
c'è un punto di minimo.

• Se si verificano entrambe le due condizioni

allora il punto di coordinate
è un punto di massimo.

Quanto detto fin qui si capisce perché quando la derivata seconda è positiva, allora volge la concavità verso l'alto, quindi ho un minimo; se è invece negativa la concavità è verso il basso, allora ho un massimo.

• Se si verificano entrambe le condizioni

allora per decidere del comportamento della funzione nel punto

è necessario studiare quello della derivata terza. Se questa è positiva, la funzione è crescente in c ed ha in esso un flesso con tangente orizzontale. Stessa cosa dicasi se la derivata è negativa, solo che questa volta la curva decresce.


Nel discorso fatto fino ad ora, si è supposta l'esistenza della derivata terza. Generalizziamo ancora di più il discorso e supponiamo che la nostra funzione sia definita in un intervallo qualsiasi chiuso e limitato e che nel punto c esistano tutte le derivate (finite) successive fino a quelle di ordine n. Se tutte le derivate di ordine inferiore ad n si annullano in c, avremo un massimo, un minimo o un flesso a seconda del valore assunto dalla derivata n-esima in c e dal valore di n: se n è pari e
la derivata n-esima calcolata in c è positiva, allora in c la funzione ha un minimo relativo, se n è dispari allora la curva è crescente in c ed ha in esso un flesso con tangente orizzontale.
Se n è pari e , allora in c ho un massimo relativo, se n è dispari ho un flesso a tangente orizzontale e la funzione in c decresce.