Studio di funzione

Uno dei modi possibili di presentare l'argomento, è quello di dare subito un senso a tutti i teoremi e alle formule che solitamente vengono presentate in lezioni precedenti a quella sullo studio delle funzioni. Dire che l'obiettivo finale di tutti gli argomenti oggetto di studio del programma di analisi matematica I è arrivare a capire e a rappresentare graficamente l'andamento di una funzione sarebbe, secondo me, l'approccio didattico giusto. Perché presentare lo studio delle funzioni a pezzi e a più riprese? Certo, il rischio è quello di mettere "troppa carne sul fuoco", ma dare subito un senso a quello che si studia aiuta a rendere l'argomento più interessante.
I passi fondamentali da seguire sono i seguenti:

• DOMINIO+ZERI+SEGNI
• LIMITI
• MASSIMI+MINIMI+FLESSI.

In questi tre punti è racchiusa tutta la conoscenza degli argomenti svolti precedentemente. I prerequisiti necessari allo svolgimento di questa lezione sono principalmente i seguenti:

• saper risolvere equazioni e disequazioni
• saper calcolare un limite
• conoscere le formule di derivazione.

Una volta capito qual'è il dominio, calcolare gli zeri, cioè i punti in cui la funzione si annulla, ossia i punti in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse, vuol dire svolgere l'equazione
Studiare il segno della funzione, vuol dire studiare le due disequazioni , .
Semplicemente si potrebbe dire che basta risolvere la disequazione .
Per quanto riguarda lo studio dei limiti, questi servono a determinare l'esistenza o meno di eventuali asintoti. Per semplificare questa ricerca basta seguire queste indicazioni:

• non esistono asintoti verticali se non ci sono punti singolari, cioè di discontinuità.

le funzioni polinomiali, cosiddette lisce perché continue ovunque, non hanno
asintoti verticali.

• non esistono asintoti orizzontali per le funzioni periodiche e per quelle il cui dominio è limitato.

Se, quindi, il punto è un punto di discontinuità, e

è un asintoto verticale.
La retta di equazione
è un asintoto orizzontale, se e solo se
.

• la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché vi sia un asintoto obliquo è che .

L'asintoto obliquo è una retta di equazione
dove
.
Anche per gli asintoti obliqui, si può ricordare che non esistono se la funzione ha un insieme di definizione limitato o se è periodica.

Nei punti in cui la derivata prima si annulla, vuol dire che la tangente alla curva, in quei punti, è parallela all'asse delle ascisse. per dire se si tratta di punti di massimo o di minimo, si deve studiare il segno della derivata prima. Anche in questo caso si tratta di risolvere una disequazione come sopra, solo che al primo membro questa volta c'è la derivata prima .
Lo studio della derivata seconda, ci permette invece di stabilire dove la curva ha la concavità rivolta verso l'alto e dove verso il basso. Nei punti di flesso la retta tangente attraversa la curva. una regola per stabilore se uno zero della derivata prima è un flesso o meno, è verificare che in quel punto la derivata terza non si annulli.(ovviamente abbiamo supposto che la funzione sia derivabile tre volte).

Punti angolosi e cuspidi si possono presentare successivamente. Intanto già con questi concetti ci si può cimentare nello studio di semplici funzioni.